Квадраттық функция және оның графигі. Алгебра, 8 сынып, қосымша материал. 5 сабақ.

Квадраттық функцияның қасиеттері мен графигі

  түріндегі кез келген квадраттық функцияны формуласымен беруге болады.

 Осыны дәлелдейік.

  квадрат үшмүшелігінен екімүшенің квадратын бөліп алсақ,

  шығады, мұндағы

  –ны m деп, ал - n деп белгілесек

  екенін аламыз.

 Бұдан функциясының графигін алу үшін функция графигін екі рет параллель көшіру керек, яғни х осімен жылжыту және у осімен жылжыту.

  функциясының графигі - парабола. Яғни функциясының графигі де - парабола. Оның төбесі - (m; n) нүктесі, мұндағы , . параболаның симметрия осі - х = m түзуі.

 Осыларды ескере отырып, квадраттық функцияның графигінің сұлбасын салуға болады.

 Суретте а > 0 болғанда және D дискриминат таңбасына қарай графиктің түрі қандай болатыны көрсетілген.

 а > 0 болғандағы функциясының қасиеттерін қарастырайық.

1. Функцияның анықталу облысы — нақты сандар жиыны.

2. Егер D > 0 болса, функцияның нөлдері және .

Егер D=0 болса, функцияның нөлі .

Егер D < 0, то функцияның нөлі жоқ.

3. Егер D > 0, онда (-∞;) және (; +∞) аралығында функция оң мән қабылдайды, ал

(; ) аралығында теріс мән қабылдайды.

 Егер D=0, онда функция аралығында оң мән қабылдайды, тек басқа.

 Егер D < 0, онда функция анықталу облысының барлық мәнінде оң мән қабылдайды.

4. Функция аралығында кемиді және аралығында өседі. болғанда функция ең кіші мән қабылдайды, ол -ға тең.

5. Функцияның мәндер облысы – жиыны.

 Суретте а < 0 болғанда және D дискриминат таңбасына қарай графиктің түрі қандай болатыны көрсетілген.

 Тапсырма 1

 а < 0 болғандағы функциясының қасиеттерін жазыңыз.

түріндегі квадраттық функцияның графигін салу үшін функция нөлін, парабола төбесінің координаталарын, у осімен қиылысу нүктесін және осы нүктегі парабола осіне қарағанда симметриялы нүктені табуымыз керек. Сосын осы нүктелерді координаталық жазықтықта белгілеп, үздіксіз сызық жүргіземіз.

 Егер парабола х осімен қиылыспаса немесе у осін координаталар басынан анағұрлым алшақта жатқан нүктеде қиятын болса, онда парабола салу үшін оның осіне симметриялы басқа нүктелерді алуға болады.

 Мысал 1. функция графигін салайық.

 Функция нөлдерін табайық. теңдеуін шешіп, және екенін аламыз. Яғни парабола х осін абсциссасы шамамен -0,5 және 4,5 болатын нүктеде қияды.

 Парабола төбесінің координаталарын m және n-ді табайық. m абсциссасын формуласымен табамыз, ал n ординатасын

функциясындағы х-тің орнына m-нің мәнін қою арқылы табамыз. Сонда:

  х = 0 қойып, параболаның у осімен қиылысуын табамыз. (0; -1) нүктесі шығады. Осы нүктеге парабола осіне қағанда симметриялы нүкте (4; -1).

 Осы нүктелерді белгілеп, парабола тармағын ескеріп үздіксіз сызық жүргіземіз. Пайда болған

  функциясының графигі суретте көрсетілген .

 Әдебиет: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2010