Туындының көмегімен функцияның графигін зерттеп салу. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал.

© МатБюро - Решение задач по высшей математике www.MatBuro.ru

Всё об исследовании графика функции – план, примеры решений, видео, чертежи

Тема: Полное иccледование функции

ЗАДАНИЕ. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.

• = - ¹₄ ( x³ - 3x² + 4)

РЕШЕНИЕ:

• Область определения функции – вся числовая прямая, то есть D( y) = (-¥; +¥) . Точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет.

• Точки пересечения с осями координат:

Ox : y = - ¹₄ ( x³ - 3x² + 4) = 0, ⇒x₁ = -1, x₂ = 2 , точки (-1,0), (2,0).

^Oy : x = 0, ⇒y = - ¹ ( 0 - 0 + 4) = -1. Точка (0, -1).

4

• Функция общего вида, так как

y ( - x ) = - ¹₄ ( (- x)³ - 3(- x)² + 4) = - ¹₄ ( - x³ - 3x² + 4) ¹ ± y(x)

• Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:

Находим критические точки: x₁ = 0, x₂ = 2 . Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка делит область определения функции.

Функция убывает на интервалах (-¥; 0), (2; +¥) , возрастает на интервале (0; 2) . Функция имеет минимум в точке x = 0 , y(0) = -1 , функция имеет максимум в точке x = 2 , y(2) = 0

• Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную.

Находим критические точки: x = 1 . Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят области определения функции.

y’´+–

• 1

Функция выпукла вверх на интервале (1; +¥) , выпукла вниз на интервале (-¥;1) . Точка перегиба: x = 1 , y(1) = -0,5 .

1

© МатБюро - Решение задач по высшей математике www.MatBuro.ru

Всё об исследовании графика функции – план, примеры решений, видео, чертежи

• Асимптоты.

• Строим график функции, отметим ключевые точки (экстремумы и точки выпуклости):

2