На отрезке [a,b] рассматривается линейная двухточечная краевая задача
(d^2 y)/(dt^2 )+q_1 (t) dy/dt+q_2 (t)y=f(t) (1.1.1)
y(a)=y^0, y(b)=y^1, (1.1.2)
где q_1 (t),q_2 (t),f(t) непрерывны на отрезке [a,b].y^0,y^1- заданные числа.
Целью являются: а) выяснение необходимых и достойных условий однозначной разрешимости задачи (1.1.1), (1.1.2); б) построение функции Грина; в) нахождение решений.
Решением задачи (1.1.1),(1.1.2) будет непрерывная, дважды дифференцируемая функция удовлетворяющая уравнению (1.1.1) и краевым условиям (1.1.2).
В дальнейшем будет показано, что для интегрирования неоднородного линейного уравнения (1.1.1) достаточно найти общее решение соответствующего однородного уравнения
(d^2 y)/(dt^2 )+q_1 (t) dy/dt+q_2 (t)y=0 (1.1.3)
Начнем с общей теории линейных уравнений второго порядка с изучения однородных линейных уравнений (1.1.3).
Мы должны найти вещественные решения уравнения (1.1.3). Как мы знаем, для решения этой задачи иногда оказывается выгодно сначала найти некоторые комплексные решения.
Прежде чем дать понятие о комплексном решении уравнения (1.1.3) дадим определение комплексной функции вещественной переменной
Функцию
z(t)=u(t)+iu(t),
где u(t) и ϑ(t) - вещественные функции от вещественной переменной t,a i=√(-1) будем называть комплексной функцией от вещественной переменной t. Функции u(t) и ϑ(t) называются вещественной и мнимой частями комплексной функции z(t). Примером такой функции является:
e^it=cost+isint,
Или функция общего вида e^αt,где α=a+ib, причем a и b – вещественные:
e^αt=e^(a+it)t=e^at∙ e^ibt=e^at (cosbt+isinbt)=e^at cosbt+〖ie〗^at sinbt....