Мазмұны
Кіріспе
Жылу өткізгіштік теориясының негіздері.............................................. 3
Негізгі бөлім
а) Жылуөткізгіштік теңдеуі................................................................ 8
ә) Айырым схемалары теориясының негізгі ұғымдары................. 16
б) Айырым схемасының ұқсастығы, аппроксимациясы және орнықтылығы....................................................................................... 28
с) Айқын және айқын емес айырым схемалары............................... 32
д) Айырым схемаларын баланс әдісімен құру.................................. 35
Қорытынды.......................................................................................... 39
Қолданылған әдебиеттер тізімі.......................................................... 40
Кіріспе
Жылу алмасу процестерінің теориясы
Заманауи технология мен техниканың көптеген процестерін шешуге байланысты жылу тасымалы процессі заманауи физиканың түсініктеріне сәйкес екі көзқарас тұрғысынан зерттеледі және сипаталады. Олар феноменологиялық және статистикалық зерттеу тәсілдері. Феноменологиялық және статистикалық тәсіл қарастырылатын физикалық құбылысты тұтасымен анықтайтын параматрлердің арасындағы кейбір жалпы қатынастарды анықтауға негізделеді. Бұл зерттеу тәсілінде негізгі мәселе түріндегі байланысын құруға келіп тіреледі. Мұндағы U-потенциал, I-ағын. Бұл байланыстың жалпы сипаты жылу тасымалданудың үш мүмкін түрінің бірімен анықталады.
Оларды біріншісі – жылуөткізгіштік жылу энергиясын физикалық жүйенің микроскопиялық элементерімен (молекулалар, иондар, электрондар) тасымалдануға қатысты. Газдардағы жылуөткізгіштік энергияны молекулалар соқтығысу арқылы, қатты денеде зат торының тербелген иондарымен және “электрондық газбен”, сұйықта – көрсетілген барлық механизмдермен іске асырылады.
Микроскопиялық көлемінің қозғалысы есебінен іске асатын жылу берілу конвекция деп аталады. Конвекцияның екі түрі бар -–массаның элементтері жүйе көлемінің тығыздықтарының әртүрлі болуынан ауырлық күші өрісінде орын ауыстырғандағы еркін конвекция, және массасының орын ауыстыруы сыртқы күштердің есебінен іске асырылатын мәжбүр конвекция деп аталады.
Жылу алмасудың үшінші түрі – сәулелену денелердің электромагниттік өрістің энергиясын жұтуына, шағылуына, өткізуіне және сәулелендіруіне негізделген.
Феноменологиялық заңдар жалпы сипатта, ол нақты физикалық ортаның ролі пропорционалдық коэффициентері – сонымен бірге эксперименталді анықталатын коэффициенттермен бірге ескеріледі.
Жылу тасымалдану процесстері жылуөткізгіштікпен іске астын физикалық жүйені қарастырайық. Феноменологиялық термодинамиканың жалпы процедуралалына сәйкес мұндай жүйені зертеуді біз энтропия көзі үшін өрнек жазудан бастаймыз. Энтропия көзінің интенсивтілігі үшін жалпы өрнекпен, келесіні аламыз:
(1)
жүйеде жылу өткізгіштік құбылыстар жүрмейтіндіктен, диффузия процестері жоқ, Iq және Iq1 жылу ағындары сәйкес келеді. (1) теңдеуге негіздеп, жылуөткізгіштік құбылысы үшін термодинамикалық күштер мен ағындарды енгізуге болады. Бұл жағдайда бұлай болу айқын:
термодинамикалық күш;
Iq – термодинамикалық ағын.
Феноменологиялық термодинамика бұдан ары енгізілген термодинамикалық күштер мен ағындардың арасында қандайда бір сызықтық қатынас болуы керек деп тұжырымдайды (феноменологиялық заң):
(2)
Бұл феноменологиялық заң келесідей түрде жазылуы мүмкін:
(3)
мұндағы (4)
(4) қатынасты 1822ж эксперимент жүзінде тұжырымдарды және Фурье заңы деп аталады.
(4) өрнектегі тасымалданудың феноменологиялық коэффициентінің бірі болатын пропорционалдық коэффиенциент жылу өткізгіштік коэффициенті деп аталады. Бұл коэффициент қарастырылатын жүйенің физикалық қасиеттерін ондағы өтіп жатқан жылуөткізгіштік процессі тұрғысынан қарастырылады.Құбылысты
феноменологиялық сипаттағанда жүйенің барлық физикалық қасиеттері, басқаша айтқанда физикалық жүйелердің бір-бірінен ерекшелігі тек тасымалдау коэффициентері арқылы көрсетіледі. Көптеген жағдайлардафеноменологиялық сипаттау экспериментпен жоғары дәлдікпен келеді.
Екі жағдайларды қарастырамыз (1-сурет). Оның біріншісінде (изотопты орта, 11-сурет), жылуөткізгіштік коэффициентінің шамасы бағытқа тәуелді емес. Iq жылу ағыны Фурье заңына сәйкес, нормальға қарама-қарсы изотермаларға (температура градиенті) бағыталған, екінші жағдайда – анизотропты орта (1б сурет) – құбылысы күрделірек. Iq- жылу ағынының бағыты жылуөткізгіштік тензорымен анықталады, бұл жағдайда коэффициенті анықталады, бұл жағдайда коэффициенті, оған сай Iq ағын ең үлкен және ең кіші мәндерге ие болатын бағыттар бар.
Жылуөткізгіштік тензоры – екінші ранглі тендор – келесідей жазылады
(5)
(3) өрнекпен берілген Фурье заңы тензорлық түрде координаталар остеріне проекцияланып скаляр түрде келесідей жазылады:
(6)
(6) қатынасты координата остеріндегі түйіндес әсерлермен байланысққан жылу ағындарының проекцияларын байланыстаратын қатынас ретінде қарастыруға болады, яғни анизатропты денеде х осі бойынша жылу ағыны у және х осьтері бойынша температураның түсуіне, немесе керісінше у осіндегі температураның кемуі қалған х және у осьтері бойынша температураның кемуіне әкеледі.
Бұл көзқарас тұрғысынан жүйенің (6) теңдеудекгі коэффициентері феноменологиялық термодинамика тұжырымдағандай Онзагердің қатынастарына бағынуы керек. Яғни сәйкес түйіндес коэффициентер тең болуы керек
және т.с.с.
(7) қатынас тензорының симметриялық шарты болып табылды. Осылайша Онзагер қатынасынан жылуөткізгіштік тензорының - симметриялық тензор екендігі шығады.Жылуөткізгіштің бұл тензорын экспримент жүзінде Соре и файгт тетрагокальді класстың кристалдарының жылуөткізгіштіігін зерттегенде, тексерді.
Осылайша, жылу ағыны мен арасындағы жалпы феноменологиялық қатынасты қарастыра отырып, анизотропты орта жағдайында ағын және векторлар бірдей бағыт алмайтындығын; олардың арасындағы байланыс (6) қатынаспен анықталатындығы жөнінде тұжырым жасауға болады. Тек изотропты жүйе жағдайында жылуөткізгіштік тензоры скалярға келіп және жылу ағыны мен бағыты сәйкес келеді. Жылуөткізгіштік процессін жалпы сипатағанда, ортаның анизотроптылығын ескеру математикалық қиындықтар туғызады. Техникалық маңызды материалдардың көпшілігін бірінші жуықтауда изотропты деп, ал олардың жылуөткізгіштік коэффициентерін скаляр деп санауға болады.
а) ЖЫЛУӨТКІЗГІШТІК ТЕҢДЕУІ
Біз мұнда жылуөткізгіштік теңдеуін “классикалық” қорытамыз. Сақталу заңдарының бірінің теңдеуін (энергияның сақталу заңы) және Фурье заңын қолданамыз. Жылуөткізгіштік теңдеуін энергияның сақталу заңының теңдеуімен Фурье теңдеуінен тұратын жүйенің математикалық эквиваленті ретінде қарастырамыз.
(7)
Энергияның сақталу заңының теңдеуін қолданамыз. Бұл жағдайда жүйенің массалар центрінің өзгерісі жоқ деп, яғни w=0 деп қарастырамыз. Бұл жағдайда (7) теңдеу ықшамдалады, келесі түрге келеді:
(8)
Тек жылуөткізгіштік процесін қарастырғанда оң жақтағы соңғы мүшесін терең қарастырамыз, тек қандай да бір энергияның (немесе жылудың) бөлінуі маңызды. (9) белгілейміз.
Жүйенің ішкі энергиясы u тек оның температурасына тәуелді деп есептейміз. Идеал осылайша, жылусыйымдылық деп сол сыртқы параметрлерде жүйенің ие болатын жылу сыйымдылығын аламыз. Осылайша,
(10)
Мұндағы -сыртқы параметрлердің белгілі бір мәніндегі жылусыйымдылық.
Егер (8) теңдеудегі жылу ағынын (3) теңдеуге сәйкес өрнектесек және (9,1) теңдеулерді қолдансақ, келесіні аламыз:
(11)
(11) теңдеу жылуөткізгіштік теңдеуінің неғұрлым жалпы математикалық жазбасы.
Жалпы жағдайда жылуөткізгіштік коэффициенті тензор, және осылайша оң жақтағы бірінші мүше тензорды векторға көбейту ережесіне сәйкес келесідей жазылады.
(12) өрнек келесідей жеке жағдайлар ықшамдалады:
1. Қарастырылатын жүйе изотропты, және осылайша жылуөткізгіштік тензоры скаляр. Онда
(11) өрнек келесідей түрге келеді:
(12)
мұндағы - Лаплас операторы, ал
(13)
Жылуөткізгіштік коэффициенті координаталарға, ал тығыздық пен жылусыйымдылық уақытқа тәуелсіз десек, жылуөткізгіштік теңдеуі келесі түрге келеді:
(14)
мұндағы - Максвелл бойынша жылуөткізгіштік коэффициенті немесе Кельвин бойынша жылу диффузиясының коэффициенті: .
Стационар процестер үшін жылуөткізгіштік теңдеуі Пуассонның әдеттегі теңдеуіне келеді:
.Ішкі жылу көздері болмаса, (14) теңдеу Лаплас теңдеулеріне келеді:
2. Жылуөткізгіштік тензорының компонентері координаталарға тәуелсіз. Магнит өрісі жоқ. Бұл жағдайда (12) өрнек келесідей түрленеді: (15)
Екінші ретті дифференциал теңдеулердің теориясында көрсетілгендей, өрнектің оң жағына координаталарды ауыстыру арқылы аралас туындыларды жойып, келесі түрге келтіруге болады:
мұндағы - жаңа төртбұрышты координаталар. Алынған жағдай үшін жылуөткізгіштік теңдеуі келесідей жазылады:
(17)
енгізілген жаңа координаталар ( ) жүйесін бас жүйе, ал оның остерін жылуөткізгіштіктің негізгі остері деп атаймыз. (17) теңдеуді тағы да ықшамдаймыз, ол үшін координатаны тағы да түрлендіреміз:
(18)
Мұнда шамалары кездейсоқ таңдалып алынды. Жаңа координаталарда (17) теңдеу келесідей жазылады:
(19)...
Кіріспе
Жылу өткізгіштік теориясының негіздері.............................................. 3
Негізгі бөлім
а) Жылуөткізгіштік теңдеуі................................................................ 8
ә) Айырым схемалары теориясының негізгі ұғымдары................. 16
б) Айырым схемасының ұқсастығы, аппроксимациясы және орнықтылығы....................................................................................... 28
с) Айқын және айқын емес айырым схемалары............................... 32
д) Айырым схемаларын баланс әдісімен құру.................................. 35
Қорытынды.......................................................................................... 39
Қолданылған әдебиеттер тізімі.......................................................... 40
Кіріспе
Жылу алмасу процестерінің теориясы
Заманауи технология мен техниканың көптеген процестерін шешуге байланысты жылу тасымалы процессі заманауи физиканың түсініктеріне сәйкес екі көзқарас тұрғысынан зерттеледі және сипаталады. Олар феноменологиялық және статистикалық зерттеу тәсілдері. Феноменологиялық және статистикалық тәсіл қарастырылатын физикалық құбылысты тұтасымен анықтайтын параматрлердің арасындағы кейбір жалпы қатынастарды анықтауға негізделеді. Бұл зерттеу тәсілінде негізгі мәселе түріндегі байланысын құруға келіп тіреледі. Мұндағы U-потенциал, I-ағын. Бұл байланыстың жалпы сипаты жылу тасымалданудың үш мүмкін түрінің бірімен анықталады.
Оларды біріншісі – жылуөткізгіштік жылу энергиясын физикалық жүйенің микроскопиялық элементерімен (молекулалар, иондар, электрондар) тасымалдануға қатысты. Газдардағы жылуөткізгіштік энергияны молекулалар соқтығысу арқылы, қатты денеде зат торының тербелген иондарымен және “электрондық газбен”, сұйықта – көрсетілген барлық механизмдермен іске асырылады.
Микроскопиялық көлемінің қозғалысы есебінен іске асатын жылу берілу конвекция деп аталады. Конвекцияның екі түрі бар -–массаның элементтері жүйе көлемінің тығыздықтарының әртүрлі болуынан ауырлық күші өрісінде орын ауыстырғандағы еркін конвекция, және массасының орын ауыстыруы сыртқы күштердің есебінен іске асырылатын мәжбүр конвекция деп аталады.
Жылу алмасудың үшінші түрі – сәулелену денелердің электромагниттік өрістің энергиясын жұтуына, шағылуына, өткізуіне және сәулелендіруіне негізделген.
Феноменологиялық заңдар жалпы сипатта, ол нақты физикалық ортаның ролі пропорционалдық коэффициентері – сонымен бірге эксперименталді анықталатын коэффициенттермен бірге ескеріледі.
Жылу тасымалдану процесстері жылуөткізгіштікпен іске астын физикалық жүйені қарастырайық. Феноменологиялық термодинамиканың жалпы процедуралалына сәйкес мұндай жүйені зертеуді біз энтропия көзі үшін өрнек жазудан бастаймыз. Энтропия көзінің интенсивтілігі үшін жалпы өрнекпен, келесіні аламыз:
(1)
жүйеде жылу өткізгіштік құбылыстар жүрмейтіндіктен, диффузия процестері жоқ, Iq және Iq1 жылу ағындары сәйкес келеді. (1) теңдеуге негіздеп, жылуөткізгіштік құбылысы үшін термодинамикалық күштер мен ағындарды енгізуге болады. Бұл жағдайда бұлай болу айқын:
термодинамикалық күш;
Iq – термодинамикалық ағын.
Феноменологиялық термодинамика бұдан ары енгізілген термодинамикалық күштер мен ағындардың арасында қандайда бір сызықтық қатынас болуы керек деп тұжырымдайды (феноменологиялық заң):
(2)
Бұл феноменологиялық заң келесідей түрде жазылуы мүмкін:
(3)
мұндағы (4)
(4) қатынасты 1822ж эксперимент жүзінде тұжырымдарды және Фурье заңы деп аталады.
(4) өрнектегі тасымалданудың феноменологиялық коэффициентінің бірі болатын пропорционалдық коэффиенциент жылу өткізгіштік коэффициенті деп аталады. Бұл коэффициент қарастырылатын жүйенің физикалық қасиеттерін ондағы өтіп жатқан жылуөткізгіштік процессі тұрғысынан қарастырылады.Құбылысты
феноменологиялық сипаттағанда жүйенің барлық физикалық қасиеттері, басқаша айтқанда физикалық жүйелердің бір-бірінен ерекшелігі тек тасымалдау коэффициентері арқылы көрсетіледі. Көптеген жағдайлардафеноменологиялық сипаттау экспериментпен жоғары дәлдікпен келеді.
Екі жағдайларды қарастырамыз (1-сурет). Оның біріншісінде (изотопты орта, 11-сурет), жылуөткізгіштік коэффициентінің шамасы бағытқа тәуелді емес. Iq жылу ағыны Фурье заңына сәйкес, нормальға қарама-қарсы изотермаларға (температура градиенті) бағыталған, екінші жағдайда – анизотропты орта (1б сурет) – құбылысы күрделірек. Iq- жылу ағынының бағыты жылуөткізгіштік тензорымен анықталады, бұл жағдайда коэффициенті анықталады, бұл жағдайда коэффициенті, оған сай Iq ағын ең үлкен және ең кіші мәндерге ие болатын бағыттар бар.
Жылуөткізгіштік тензоры – екінші ранглі тендор – келесідей жазылады
(5)
(3) өрнекпен берілген Фурье заңы тензорлық түрде координаталар остеріне проекцияланып скаляр түрде келесідей жазылады:
(6)
(6) қатынасты координата остеріндегі түйіндес әсерлермен байланысққан жылу ағындарының проекцияларын байланыстаратын қатынас ретінде қарастыруға болады, яғни анизатропты денеде х осі бойынша жылу ағыны у және х осьтері бойынша температураның түсуіне, немесе керісінше у осіндегі температураның кемуі қалған х және у осьтері бойынша температураның кемуіне әкеледі.
Бұл көзқарас тұрғысынан жүйенің (6) теңдеудекгі коэффициентері феноменологиялық термодинамика тұжырымдағандай Онзагердің қатынастарына бағынуы керек. Яғни сәйкес түйіндес коэффициентер тең болуы керек
және т.с.с.
(7) қатынас тензорының симметриялық шарты болып табылды. Осылайша Онзагер қатынасынан жылуөткізгіштік тензорының - симметриялық тензор екендігі шығады.Жылуөткізгіштің бұл тензорын экспримент жүзінде Соре и файгт тетрагокальді класстың кристалдарының жылуөткізгіштіігін зерттегенде, тексерді.
Осылайша, жылу ағыны мен арасындағы жалпы феноменологиялық қатынасты қарастыра отырып, анизотропты орта жағдайында ағын және векторлар бірдей бағыт алмайтындығын; олардың арасындағы байланыс (6) қатынаспен анықталатындығы жөнінде тұжырым жасауға болады. Тек изотропты жүйе жағдайында жылуөткізгіштік тензоры скалярға келіп және жылу ағыны мен бағыты сәйкес келеді. Жылуөткізгіштік процессін жалпы сипатағанда, ортаның анизотроптылығын ескеру математикалық қиындықтар туғызады. Техникалық маңызды материалдардың көпшілігін бірінші жуықтауда изотропты деп, ал олардың жылуөткізгіштік коэффициентерін скаляр деп санауға болады.
а) ЖЫЛУӨТКІЗГІШТІК ТЕҢДЕУІ
Біз мұнда жылуөткізгіштік теңдеуін “классикалық” қорытамыз. Сақталу заңдарының бірінің теңдеуін (энергияның сақталу заңы) және Фурье заңын қолданамыз. Жылуөткізгіштік теңдеуін энергияның сақталу заңының теңдеуімен Фурье теңдеуінен тұратын жүйенің математикалық эквиваленті ретінде қарастырамыз.
(7)
Энергияның сақталу заңының теңдеуін қолданамыз. Бұл жағдайда жүйенің массалар центрінің өзгерісі жоқ деп, яғни w=0 деп қарастырамыз. Бұл жағдайда (7) теңдеу ықшамдалады, келесі түрге келеді:
(8)
Тек жылуөткізгіштік процесін қарастырғанда оң жақтағы соңғы мүшесін терең қарастырамыз, тек қандай да бір энергияның (немесе жылудың) бөлінуі маңызды. (9) белгілейміз.
Жүйенің ішкі энергиясы u тек оның температурасына тәуелді деп есептейміз. Идеал осылайша, жылусыйымдылық деп сол сыртқы параметрлерде жүйенің ие болатын жылу сыйымдылығын аламыз. Осылайша,
(10)
Мұндағы -сыртқы параметрлердің белгілі бір мәніндегі жылусыйымдылық.
Егер (8) теңдеудегі жылу ағынын (3) теңдеуге сәйкес өрнектесек және (9,1) теңдеулерді қолдансақ, келесіні аламыз:
(11)
(11) теңдеу жылуөткізгіштік теңдеуінің неғұрлым жалпы математикалық жазбасы.
Жалпы жағдайда жылуөткізгіштік коэффициенті тензор, және осылайша оң жақтағы бірінші мүше тензорды векторға көбейту ережесіне сәйкес келесідей жазылады.
(12) өрнек келесідей жеке жағдайлар ықшамдалады:
1. Қарастырылатын жүйе изотропты, және осылайша жылуөткізгіштік тензоры скаляр. Онда
(11) өрнек келесідей түрге келеді:
(12)
мұндағы - Лаплас операторы, ал
(13)
Жылуөткізгіштік коэффициенті координаталарға, ал тығыздық пен жылусыйымдылық уақытқа тәуелсіз десек, жылуөткізгіштік теңдеуі келесі түрге келеді:
(14)
мұндағы - Максвелл бойынша жылуөткізгіштік коэффициенті немесе Кельвин бойынша жылу диффузиясының коэффициенті: .
Стационар процестер үшін жылуөткізгіштік теңдеуі Пуассонның әдеттегі теңдеуіне келеді:
.Ішкі жылу көздері болмаса, (14) теңдеу Лаплас теңдеулеріне келеді:
2. Жылуөткізгіштік тензорының компонентері координаталарға тәуелсіз. Магнит өрісі жоқ. Бұл жағдайда (12) өрнек келесідей түрленеді: (15)
Екінші ретті дифференциал теңдеулердің теориясында көрсетілгендей, өрнектің оң жағына координаталарды ауыстыру арқылы аралас туындыларды жойып, келесі түрге келтіруге болады:
мұндағы - жаңа төртбұрышты координаталар. Алынған жағдай үшін жылуөткізгіштік теңдеуі келесідей жазылады:
(17)
енгізілген жаңа координаталар ( ) жүйесін бас жүйе, ал оның остерін жылуөткізгіштіктің негізгі остері деп атаймыз. (17) теңдеуді тағы да ықшамдаймыз, ол үшін координатаны тағы да түрлендіреміз:
(18)
Мұнда шамалары кездейсоқ таңдалып алынды. Жаңа координаталарда (17) теңдеу келесідей жазылады:
(19)...