Сандық қатарлар

1. Сандық қатарлар
1. Сандық қатарлар.
Анықтама. Берілген ақырсыз u1, u2, u3,..... un,... сандық тізбектің мүшелерін плюс таңбасымен біріктіргенде шығатын символ
u1 + u2 + u3+...+ un+...= (I)
сандық қатар, ал u1, u2, u3,..... un,... сандары қатардың мүшелері, мәселен, u1-бірінші мүшесі, u2 - екінші мүшесі,..., un – п -ші, немесе жалпы мүшесі деп аталады.
Анықтама. (1) қатардың алдыңғы и мүшелерінің қосындысы
Sn = u1 + u2 + u3+...+ un = (n=1,2, 3,….), (2)
сол қатардың n- ші дербес қосындысы деп аталады.
Дербес қосындылар тізбегі S1, S2, S3,..., Sn,... үшін мына үш жағдайдың бірі ғана орындалуы мүмкін:
1) п -да дербес қосынды Sn-нің шектеулі шегі S бap;
2) п -да дербес қосынды Sn айқын таңбалы ақырсыз шек + , не - ке ұмтылады;
3) п -да дербес қосынды Sn ешқандай шекке ұмтылмайды (шегі жоқ).
Анықтама. Егер сандық қатар (1)-дің дербес қосындысы Sn -нің п -да шектеулі шегі Sn = S бар болса, ол жинақты қатар, ал S саны сол қатардың қосындысы деп аталады.
Егер п -да, Sn-нің шегі ақырсыздыққа ұмтылса немесе шегі мүлдем жоқ болса, (1)-ді жинақсыз қатар деп атаймыз.
Мысал ретінде геометриялық прогрессия мүшелерінен құралған, еселілігі q -ға тең a+q+aq2+...+aq"+...= aqk (3) қатарын қарастыралық.
Әуелі q 1 болатын жағдайдағы дербес қосындыны құралық:

1) Егер < 1 болса, онда яғни (3) қатар жинақты, оның қосындысы болады.
2) Erep > 1 болса, онда яғни (3) қатар жинақсыз.
3) Erep q = 1 болса, онда (3) қатар мынадай түрде жазылады: а+а+а+...-а+... , онда яғни (3) қатар жинақсыз.
4) Erep q = -1 болса, онда

яғни ешқандай шекке ұмтылмайды, сондықтан да (3) қатар жинақсыз.
Сонымен (3) қатар |q| < 1 болғанда жинақты да, ал |q| > 1 болса жинақсыз болады.
Анықтама. Берілген (1) қатардың алдыңғы п мүшесін шығарып тастағанда қалатын қатар (4) берілген (1) қатардың п -ші қалдығы деп аталады.
Егер жинақты қатардың қалдығының қосындысын Rn арқылы белгілесек, онда S = Sn + , Rn = S - Sn .
Теорема. Егер (1) қатар жинақты болса, онда = 0.
І-мысал. Қатар берілген. Оның алғашқы п мүшесінің қосындысы Sn -ді , анықтаманы пайдаланып, бұл қатардың жинақтылығын көрсету және оның қосындысы S - ті, қалдығының қосындысы Rn табу керек.
Шешуі. Рационал бөлшектің бөлімінің екі түбірі бар болғандықтан, оны екі сызықты көбейткіштің көбейтіндісі түріне келтіруге болады, яғни
16n2 – 8n – 3 =0, n1 = –1/4, n2 =3/4;
16n2 – 8n – 3 = 16 = (4n + 1)(4n – 3) = (4n – 3)(4n +1).
Қатардың жалпы мүшесін екі бөлшектің қосындысы түріне келтіреміз, яғни анықталмаған коэффициенттер әдісін пайдаланып, берілген бөлшекті қарапайым бөлшектерге жіктейміз:

Тепе-теңдіктің екі жағын ортақ бөлімге келтіріп, алымдарын теңестіреміз:

Сонан кейін, n-нің бірдей дәрежелерінің коэффициенттерін теңестіріп, мынадай теңдеулер жүйесін шешеміз:

Сонымен,
Енді берілген қатардың әрбір мүшесін екі қосылғыштың қосындысы етіп жазсақ, n -ші дербес қосынды мына түрде өрнектелер еді:

Сонда, берілген қатар үшін S, Rn -ді оп-оңай табамыз:

Көпшілік жағдайда, n-ші дербес қосындыны өрнектейтін жалпы формула табыла бермейді. Сондықтан, қатардың n-дербес қосындысының шегі бар, не жоқтығы жөніндегі мәселені жанама жолмен, яғни жинақтылық белгілерін пайдаланып шешуге тура келетінін ескерте кетелік.
2. Жинақты қатарлардың қарапайым қасиеттері. Теорема. Егер жинақты қатарының қосындысы S саны болып, ал с-берілген тұрақты сан болса, онда қатары да жинақты болады жөне оның қосындысы c·s санына тең.
Салдар. Егер қатары жинақсыз болса, онда қатары да жинақсыз болады.
Теорема. Егер мен қатарлары жинақты болып, S пен сандары ол қатарлардың сәйкес қосындылары болса, онда берілген катарлардың сөйкес мүшелерін не мүщслеп қосу, не мүшелеп алу арқылы құрылған қатар да жинақты болады және оның қосындысы s ± санына тең.
Теорсма. Егер қатары беріліп қатары оның кез келген қалдығы болса, онда осы екі қатар бірдей жинақты, немесе бірдей жинақсыз болады.
3. Қатардың жинақты болуының қажетті шарты.
Теорема. Егер қатары жинақты болса, онда -да оның жалпы мүшесі ип нольге ұмтылады, яғни .
Салдар. (қатардың жинақсыз болуының жеткілікті шарты). Егер онда қатары жинақсыз болады. шарты болуы қажетті шарты, бірақ жеткілікті шарты еместігін ескерген жөн. Басқаша айтқанда, ол шарт орындалған жагдайда да қатар жинақсыз болуы мүмкін. Бұған мына гармониялық қатар мысал болады. Мұнда , бірақ қатар жинақсыз.
4. Қатардың жинақты болуының Коши критерийі.
Теорема. (Коши критерийі) . қатары жинақты болуы үшін берілген кез келген > 0 саны үшін бір N=N( ) нөмірі табылып, сол қатардың мүшелерінің n>N теңсіздігін қанағаттандыратын нөмірлері үшін және кез келген натурал р саны үшін теңсіздігі орындалуы қажетті және жеткілікті.
5. Мұшелері оң қатарлардың жинақтылығының жеткілікті белгілері.
Анықтама. (1) қатарының мүшелері un 0 (n = 1,2,...) шартын қанағаттандырса,(1) қатар мүшелері оң қатар деп аталады.
Теорема. Мүшелері оң қатар жинақты болуы үшін қатардың дербес қосындыларының тізбегі жоғарыдан шенелген болуы қажетті және жеткілікті.
Енді, мүшелері оң қатарлардың жинақтылығынық кейбір жеткілікті шарттарын қарастыралық.
Салыстыру белгісі. Мүшелері оң (1) мен қатарларының мүшелері (белгілі бір n > N-нен бастап) иn Vn шартын қанағаттандырса, онда:
1) (2) қатардың жинақтылыгынан (1) қатардың жинақтылығы шығады;
2) (1) қатардың жинақсыздығынан (2) қатардың жинақсыздығы шығады.
Шектік салыстыру белгісі. (1) және (2) қатарлардың жалпы мүшелері үшін ақырлы шек бар болса, онда
1) егер (2) қатар жинақты және 0 к < болса, онда (1) қатар да жинақты болады;
2) егер (2) қатар жинақсыз және 0< к < болса, онда (1) қатар да жинақсыз болады.
Қатарларды салыстыру белгісін қолданып, жинақтылығын зерттегенде төмендегі эталонды қатарларды пайдалануға болады:
1) қатары жалпылаңған гармониялық қатар немесе Дирихле қатары деп аталады. Бұл қатар a > 1 болғанда жинақты, ал а1 болғанда, қатар жинақсыз болады;
р = 1 болғанда, бұл белгі қатар жинақты, не жинақсыз болатынын анықтай алмайды (қосымша зерттеуді қажет етеді).
Коши белгісі. Егер мүшелері оң қатар үшін ақырлы шек бар болса, онда
р < 1 болғанда, қатар жинақты;
р > 1 болғанда, қатар жинақсыз болады;
р = 1 болғанда, бұл белгі қатар жинақты, не жинақсыз болатынын анықтай алмайды (қосымша зерттеуді қажет етеді).
Кошидің интегралдық белгісі. Егер мүшелері оң қатар беріліп, сонымен бірге х>а мәндері үшін анықталған, үзіліссіз, оң және бір сарынды кемімелі функция f(x) үшін кейбір өмірінен бастап ип - f (п) теңдігі орындалып, меншіксіз интеграл f(x)dx жинақты болса, берілген қатар жинақты болады, ал егер меншіксіз интеграл жинақсыз болса, қатар да жинақсыз болады. ....